Истинность конъюнкции и дизъюнкции: таблица и примеры

«Число 4 чётное и больше 10» — ложное высказывание, хотя первая его часть истинна. Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба высказывания, из которых она состоит. Замените «и» на «или» в том же примере, и высказывание станет истинным: для нестрогой дизъюнкции достаточно хотя бы одной истинной части. Числа остались прежними, но логическая связка изменила результат.

Чтобы решить такую задачу, определите истинность каждой части, а затем примените правило связки. По одной истинной части нельзя определить истинность всего высказывания, не учитывая связку.

Начните с двух простых высказываний

Здесь логическое высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Число 4 чётное» истинно: 4 делится на 2 без остатка. А «Число 4 больше 10» ложно.

Обозначим первое высказывание символом p, а второе — q. Символы сокращают запись, сохраняя смысл предложений. Запишем рядом с каждым символом значение истинности:

• p: число 4 чётное — истина.
• q: число 4 больше 10 — ложь.

Будьте внимательны, если в задаче есть переменная. Нельзя определить, истинно ли предложение «Число x больше 10», пока неизвестно значение x или условия, позволяющие сделать вывод. В примерах будем использовать конкретные числа, чтобы сосредоточиться на логической связке.

Таблица истинности для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания

Конъюнкция, обозначаемая ∧, означает «и»: оба высказывания должны быть истинными. Нестрогая дизъюнкция, обозначаемая ∨, означает «или»: достаточно одного истинного высказывания, а случай, когда истинны оба, тоже подходит. Отрицание, обозначаемое ¬, меняет значение истинности на противоположное. Эти правила объясняются в уроке OpenStax о построении таблиц истинности.

p	q	Конъюнкция p ∧ q	Дизъюнкция p ∨ q	Отрицание ¬p
Истина	Истина	Истина	Истина	Ложь
Истина	Ложь	Ложь	Истина	Ложь
Ложь	Истина	Ложь	Истина	Истина
Ложь	Ложь	Ложь	Ложь	Истина

Читайте таблицу по строкам. Сначала выберите строку со значениями p и q, затем найдите столбец нужной операции. Последний столбец зависит только от p: при изменении q значение ¬p остаётся прежним.

Для запоминания: конъюнкция истинна только в одном случае, а нестрогая дизъюнкция только в одном случае ложна. Если вы понимаете условие истинности операции, заучивать четыре отдельных утверждения для каждой из них не нужно.

Разберём пример с числом 4 по шагам

Нужно определить истинность высказывания: «Число 4 чётное и больше 10».

1. Разделите предложение по связке «и»: «4 чётное» и «4 больше 10».
2. Оцените каждую часть: первая истинна, вторая ложна.
3. Определите операцию: «и» означает конъюнкцию p ∧ q.
4. Примените правило: конъюнкция истины и лжи даёт ложь, поскольку одно из двух условий не выполнено.

Полный ответ: высказывание ложно, потому что 4 не больше 10, а для истинности конъюнкции должны быть истинны обе части. Записывайте объяснение вместе с ответом: так будет видно, какая часть сделала конъюнкцию ложной.

Теперь используем те же части с другими операциями:

Высказывание	Значение	Причина
4 чётное или больше 10	Истина	Первая часть истинна, и этого достаточно для нестрогой дизъюнкции
4 не больше 10	Истина	Это отрицание ложного высказывания «4 больше 10»
4 чётное и не больше 10	Истина	Обе части истинны

Если вы написали «Конъюнкция истинна, потому что 4 чётное», значит, проверили только одну часть. Вернитесь ко второй и проверьте, выполнены ли оба условия одновременно. Этот приём полезен и тогда, когда меняются числа или порядок высказываний.

Почему дизъюнкция истинна, когда истинны обе части?

В этом уроке мы используем нестрогую дизъюнкцию. Например, высказывание «Число 12 чётное или делится на 3» истинно. Обе части истинны, и их одновременная истинность не делает дизъюнкцию ложной.

В повседневной речи «или» может означать выбор только одного варианта, например в предложении выбрать только один напиток. Поэтому нельзя автоматически переносить разговорный смысл на символ ∨. Если в задаче требуется «только одно из двух высказываний, но не оба», речь идёт о строгой дизъюнкции, или исключающем «или»: она истинна, когда истинно ровно одно высказывание, и ложна, когда оба истинны или оба ложны. Разницу между значениями «или» объясняет урок OpenStax о составных высказываниях.

Следите за тем, к чему относится отрицание

Отрицание высказывания «Число 4 больше 10» — «Число 4 не больше 10». Для действительных чисел отрицание x > 10 записывается как x ≤ 10: случай равенства тоже нужно учесть.

При отрицании составного высказывания нужно учитывать скобки. Возьмём значения из первого примера: p истинно, а q ложно.

• ¬(p ∧ q) истинно: сначала вычисляем конъюнкцию и получаем ложь, затем отрицаем результат.
• (¬p) ∧ q ложно: отрицаем только p и получаем ложь; q тоже ложно, поэтому конъюнкция ложна.

В выражении ¬(p ∧ q) отрицание относится ко всему, что находится в скобках, поэтому сначала вычисляем конъюнкцию. В выражении (¬p) ∧ q отрицание относится только к p. Положение знака отрицания — часть условия задачи, и оно может изменить ответ, как в этом примере.

Решите задания, прежде чем смотреть ответы

Для каждого задания запишите значение истинности и короткое объяснение. Особенно внимательно сравните первые два: простые высказывания в них одинаковые, меняется только связка.

1. «Число 9 нечётное и меньше 5».
2. «Число 9 нечётное или меньше 5».
3. «Число 8 нечётное или больше 20».
4. «Число 15 не кратно 5».
5. Если p ложно, а q истинно, истинно ли выражение p ∨ (¬q)?
6. «Число 18 чётное или кратно 3». Определите истинность высказывания и объясните, как на ответ влияет истинность обеих частей.

Ответы с объяснениями

1. Ложь. Число 9 действительно нечётное, но оно не меньше 5. Конъюнкция истины и лжи даёт ложь.
2. Истина. Значения истинности частей не изменились, но для нестрогой дизъюнкции достаточно истинного высказывания «9 нечётное».
3. Ложь. Число 8 чётное и не больше 20. Это единственный случай, когда нестрогая дизъюнкция ложна: обе части ложны.
4. Ложь. Число 15 кратно 5, поскольку 15 = 3 × 5. Высказывание «15 кратно 5» истинно, поэтому его отрицание ложно.
5. Ложь. Поскольку q истинно, ¬q ложно. Получается дизъюнкция двух ложных высказываний.
6. Истина. Число 18 чётное и кратно 3. Когда обе части истинны, нестрогая дизъюнкция тоже истинна: она не требует, чтобы истинной была только одна часть.

Превратите свою ошибку в карточку

Выберите карточку, которая поможет разобраться с причиной ошибки. Если вы перепутали связки, оставьте значения прежними и поменяйте операцию в вопросе. Если ошиблись в отрицании, ясно обозначьте на лицевой стороне карточки, к чему оно относится.

Лицевая сторона	Обратная сторона
p истинно, а q ложно. Чему равно p ∧ q? Почему?	Ложь: для истинности конъюнкции должны быть истинны оба высказывания
p истинно, а q ложно. Чему равно p ∨ q?	Истина: хотя бы одно высказывание истинно
Как записать отрицание x > 10 для действительных чисел?	x ≤ 10: отрицание включает равенство
p ложно, а q истинно. Вычислите p ∨ (¬q)	Ложь: отрицание q ложно, а дизъюнкция лжи и лжи даёт ложь

Ответьте, прежде чем перевернуть карточку, а затем решите на бумаге пример с другими числами. Можно использовать бумажные карточки или карточки с лицевой и обратной стороной в приложении; первые шаги описаны в руководстве по началу работы. Больше о таком подходе — в статьях «Как использовать карточки для изучения математики» и «Как делать более понятные карточки».