संयोजन और वियोजन का सत्य मान: सारणी और हल किए गए उदाहरण
“संख्या 4 सम है और 10 से बड़ी है” एक असत्य कथन है, हालाँकि इसका पहला भाग सत्य है। संयोजन तभी सत्य होता है जब उसके दोनों कथन सत्य हों। इसी उदाहरण में “और” की जगह “या” रख दें, तो कथन सत्य हो जाता है। समावेशी वियोजन के लिए कम से कम एक कथन का सत्य होना पर्याप्त है। संख्याएँ नहीं बदलीं, लेकिन संयोजक बदलने से परिणाम बदल गया।
ऐसे सवाल हल करने के लिए पहले हर भाग का सत्य मान निकालें, फिर संयोजक का नियम लगाएँ। वाक्य का एक भाग सत्य होने भर से पूरे वाक्य को सत्य नहीं माना जा सकता।
पहले दो सरल कथन पहचानें
यहाँ तार्किक कथन ऐसा वाक्य है जो कोई बात कहता है और जिसे सत्य या असत्य ठहराया जा सकता है। उदाहरण के लिए, “संख्या 4 सम है” सत्य है, क्योंकि 4 को 2 से भाग देने पर कोई शेष नहीं बचता। वहीं, “संख्या 4, 10 से बड़ी है” असत्य है।
पहले कथन को p और दूसरे को q कहें। इन प्रतीकों से दोनों वाक्यों को संक्षेप में लिख सकते हैं; उनका अर्थ नहीं बदलता। हर प्रतीक के साथ उस कथन का सत्य मान लिखें:
p: संख्या 4 सम है — सत्य।q: संख्या 4, 10 से बड़ी है — असत्य।
सवाल में कोई चर हो, तो उसके मान पर ध्यान दें। “संख्या x, 10 से बड़ी है” को सत्य या असत्य कहने के लिए x का मान मालूम होना चाहिए या ऐसी शर्तें दी होनी चाहिए जिनसे कथन का सत्य मान तय हो सके। हमारे उदाहरणों में निश्चित संख्याएँ होंगी, ताकि ध्यान तार्किक संयोजक पर रहे।
संयोजन, वियोजन और निषेध की सत्य सारणी
संयोजन का प्रतीक ∧ है और इसका अर्थ “और” है: दोनों कथन एक साथ सत्य होने चाहिए। समावेशी वियोजन का प्रतीक ∨ है और इसका अर्थ “या” है: कम से कम एक कथन का सत्य होना पर्याप्त है, और दोनों सत्य हों तो भी यह सत्य रहता है। निषेध का प्रतीक ¬ है; यह कथन के सत्य मान को उलट देता है। ये नियम OpenStax के सत्य सारणी बनाने के पाठ में समझाए गए हैं।
p |
q |
संयोजन p ∧ q |
वियोजन p ∨ q |
निषेध ¬p |
|---|---|---|---|---|
| सत्य | सत्य | सत्य | सत्य | असत्य |
| सत्य | असत्य | असत्य | सत्य | असत्य |
| असत्य | सत्य | असत्य | सत्य | सत्य |
| असत्य | असत्य | असत्य | असत्य | सत्य |
सारणी को पंक्ति के अनुसार पढ़ें। पहले p और q के मानों से मेल खाने वाली पंक्ति चुनें, फिर आवश्यक संक्रिया के स्तंभ को देखें। आखिरी स्तंभ केवल p पर निर्भर करता है, इसलिए q बदलने पर p का निषेध नहीं बदलता।
याद रखने का तरीका: संयोजन केवल एक स्थिति में सत्य होता है, और समावेशी वियोजन केवल एक स्थिति में असत्य होता है। सत्य होने की शर्त समझ लेने पर हर संक्रिया के लिए चार अलग-अलग वाक्य याद करने की जरूरत नहीं रहती।
संख्या 4 वाला उदाहरण कदम-दर-कदम हल करें
हमें इस कथन का सत्य मान निकालना है: “संख्या 4 सम है और 10 से बड़ी है।”
- वाक्य को “और” पर अलग करें: “4 सम है” और “संख्या 4, 10 से बड़ी है।”
- हर भाग का सत्य मान निकालें: पहला सत्य है, दूसरा असत्य।
- संक्रिया पहचानें: “और” का अर्थ संयोजन
p ∧ qहै। - नियम लगाएँ: सत्य और असत्य का संयोजन असत्य होता है, क्योंकि दोनों शर्तें एक साथ पूरी नहीं हुईं।
पूरा उत्तर: कथन असत्य है, क्योंकि संख्या 4, 10 से बड़ी नहीं है और संयोजन के लिए दोनों भागों का सत्य होना जरूरी है। उत्तर के साथ कारण भी लिखें, ताकि स्पष्ट हो कि किस भाग के कारण संयोजन असत्य हुआ।
अब इन्हीं दो भागों का इस्तेमाल दूसरी संक्रियाओं के साथ करें:
| कथन | सत्य मान | कारण |
|---|---|---|
| संख्या 4 सम है या 10 से बड़ी है | सत्य | पहला भाग सत्य है, और समावेशी वियोजन के लिए इतना पर्याप्त है |
| संख्या 4, 10 से बड़ी नहीं है | सत्य | यह असत्य कथन “संख्या 4, 10 से बड़ी है” का निषेध है |
| संख्या 4 सम है और 10 से बड़ी नहीं है | सत्य | दोनों भाग सत्य हैं |
अगर आपने लिखा “संयोजन सत्य है क्योंकि 4 सम है”, तो आपने केवल एक भाग की जाँच की है। दूसरे भाग पर लौटें और देखें कि क्या दोनों शर्तें एक साथ पूरी होती हैं। संख्याएँ या कथनों का क्रम बदलने पर भी यह तरीका गलती सुधारने में काम आता है।
दोनों भाग सत्य हों तो “या” सत्य क्यों रहता है?
इस पाठ में हम समावेशी वियोजन का इस्तेमाल कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, “संख्या 12 सम है या 3 से विभाज्य है” सत्य है। दोनों भाग सत्य हैं, और उनके एक साथ सत्य होने से वियोजन असत्य नहीं हो जाता।
रोजमर्रा की बातचीत में “या” का मतलब केवल एक विकल्प चुनना भी हो सकता है, जैसे किसी ऑफर में सिर्फ एक पेय चुनने की अनुमति हो। इसलिए बातचीत वाला अर्थ अपने आप प्रतीक ∨ पर लागू न करें। जब सवाल में शर्त हो कि “केवल एक कथन सत्य हो, दोनों नहीं”, तो वह अपवर्जी वियोजन है: ठीक एक कथन सत्य होने पर यह सत्य होता है, और दोनों सत्य या दोनों असत्य होने पर असत्य। OpenStax का संयुक्त कथनों का पाठ “या” के इन अलग-अलग इस्तेमालों का अंतर समझाता है।
निषेध कहाँ लगा है, यह देखें
“संख्या 4, 10 से बड़ी है” का निषेध है “संख्या 4, 10 से बड़ी नहीं है।” वास्तविक संख्याओं के लिए x > 10 का निषेध x ≤ 10 होता है; बराबरी की स्थिति भी निषेध में शामिल है।
संयुक्त कथन का निषेध निकालते समय कोष्ठकों पर ध्यान देना जरूरी है। पहले उदाहरण के सत्य मानों का इस्तेमाल करें: p सत्य है और q असत्य।
¬(p ∧ q)सत्य है: पहले संयोजन निकालने पर असत्य मिलता है, फिर उस परिणाम का निषेध करते हैं।(¬p) ∧ qअसत्य है: केवलpका निषेध करने पर वह असत्य हो जाता है, फिर उसे असत्यqके साथ संयोजित करते हैं।
¬(p ∧ q) में निषेध कोष्ठक के भीतर के पूरे कथन पर लागू होता है, इसलिए पहले संयोजन का मान निकालते हैं और फिर उसका निषेध करते हैं। (¬p) ∧ q में निषेध केवल p पर लागू होता है। निषेध कहाँ लगा है, यह भी सवाल का हिस्सा है और उससे उत्तर बदल सकता है, जैसा यहाँ हुआ।
उत्तर पढ़ने से पहले खुद हल करें
हर सवाल के लिए सत्य मान और छोटा-सा कारण लिखें। खास तौर पर पहले दो सवालों की तुलना करें: सरल कथन एक जैसे हैं, केवल संयोजक बदलता है।
- “संख्या 9 विषम है और 5 से छोटी है।”
- “संख्या 9 विषम है या 5 से छोटी है।”
- “संख्या 8 विषम है या 20 से बड़ी है।”
- “संख्या 15, 5 का गुणज नहीं है।”
- अगर
pअसत्य औरqसत्य है, तोp ∨ (¬q)का मान क्या है? - “संख्या 18 सम है या 3 का गुणज है।” कथन का सत्य मान निकालें और समझाएँ कि दोनों भागों के एक साथ सत्य होने का क्या असर पड़ता है।
कारण के साथ उत्तर
- असत्य। संख्या 9 विषम जरूर है, लेकिन 5 से छोटी नहीं है। सत्य और असत्य का संयोजन असत्य होता है।
- सत्य। दोनों भागों के मान नहीं बदले हैं, लेकिन समावेशी वियोजन के लिए सत्य भाग “9 विषम है” पर्याप्त है।
- असत्य। संख्या 8 न तो विषम है, न 20 से बड़ी। समावेशी वियोजन केवल इसी स्थिति में असत्य होता है: दोनों भाग असत्य हों।
- असत्य। संख्या 15, 5 का गुणज है क्योंकि
15 = 3 × 5। कथन “15, 5 का गुणज है” सत्य है, इसलिए उसका निषेध असत्य है। - असत्य।
qसत्य है, इसलिए¬qअसत्य है। अब संक्रिया दो असत्य कथनों का वियोजन है। - सत्य। संख्या 18 सम है और 3 का गुणज है। दोनों भागों के एक साथ सत्य होने पर समावेशी वियोजन सत्य होता है; इसमें केवल एक कथन के सत्य होने की शर्त नहीं है।
अपनी गलती से एक कार्ड बनाएँ
ऐसा कार्ड चुनें जिससे उस नियम का अभ्यास हो जिसे समझने में गलती हुई थी। अगर आप दोनों संयोजकों में उलझ गए, तो मान वही रखें और सवाल में संक्रिया बदल दें। अगर निषेध में गलती हुई, तो कार्ड पर सवाल लिखते समय स्पष्ट करें कि निषेध किस कथन पर लागू है।
| कार्ड का सामने वाला भाग | कार्ड का पीछे वाला भाग |
|---|---|
p सत्य है और q असत्य। p ∧ q का मान क्या है? क्यों? |
असत्य; संयोजन के लिए दोनों कथन सत्य होने चाहिए |
p सत्य है और q असत्य। p ∨ q का मान क्या है? |
सत्य; कम से कम एक कथन सत्य है |
वास्तविक संख्याओं के लिए x > 10 का निषेध क्या है? |
x ≤ 10; निषेध में बराबरी भी शामिल है |
p असत्य है और q सत्य। p ∨ (¬q) का मान निकालें |
असत्य; q का निषेध असत्य है, और असत्य तथा असत्य का वियोजन असत्य होता है |
कार्ड पलटने से पहले उत्तर दें, फिर नई संख्याओं वाला एक उदाहरण कागज पर हल करें। आप कागज के कार्ड या ऐप में एक तरफ सवाल और दूसरी तरफ जवाब वाले कार्ड इस्तेमाल कर सकते हैं; शुरुआत करने की गाइड इसका तरीका बताती है। इस तरीके का और अभ्यास करने के लिए गणित के लिए फ्लैशकार्ड का इस्तेमाल और ज्यादा स्पष्ट फ्लैशकार्ड बनाना पढ़ें।