合取与析取的真值：真值表与例题详解

“4 是偶数且大于 10”是一个假命题，尽管前半句为真。合取命题只有在组成它的两个命题都为真时才为真。 把同一个例子中的“且”换成“或”，命题就变成了真命题，因为这里的“或”表示相容析取，至少一个命题为真，整体就为真。数字没有变，连接词却改变了结果。

解这类题时，先判断每个部分的真值，再应用连接词对应的规则。句子里有一条正确的信息，并不足以说明整个句子为真。

先看两个简单命题

这里的逻辑命题是指能够判断真假的陈述句。例如，“4 是偶数”为真，因为 4 能被 2 整除。而“4 大于 10”为假。

把第一个命题记为 p，第二个记为 q。这两个符号只是句子的简写，不会改变句意。在符号旁写出各自的真值：

• p：4 是偶数——真。
• q：4 大于 10——假。

遇到含有变量的句子，需要先看已知条件。比如“x 大于 10”，如果不知道 x 的值，也没有足以判断的条件，就无法确定它的真假。下面都用具体的数举例，方便把注意力放在逻辑连接词上。

合取、析取与否定的真值表

合取用符号 ∧ 表示，意思是“且”：两个命题必须同时为真。相容析取用符号 ∨ 表示，意思是“或”：至少一个命题为真，结果就为真，两个都为真也可以。否定用符号 ¬ 表示，会将命题的真值反转。OpenStax 关于构建真值表的讲解介绍了这些规则。

p	q	合取 p ∧ q	析取 p ∨ q	否定 ¬p
真	真	真	真	假
真	假	假	真	假
假	真	假	真	真
假	假	假	假	真

横着读这张表。先找到与 p 和 q 的真值相符的行，再查看所求运算的那一列。最后一列只取决于 p，所以 q 改变时，p 的否定不会随之改变。

可以这样记：合取只有一种情况为真，相容析取只有一种情况为假。理解了这个条件，就不必逐行死记硬背。

用数字 4 的例题练一遍

题目要求判断“4 是偶数且大于 10”的真值。

1. 在连接词“且”处拆开句子，得到“4 是偶数”和“4 大于 10”。
2. 判断每个部分：前者为真，后者为假。
3. 确定运算：“且”表示合取 p ∧ q。
4. 应用规则：真与假进行合取，结果为假，因为两个条件没有同时满足。

完整答案是：该命题为假，因为 4 不大于 10，而合取要求两个部分都为真。 写出答案时也写出原因，说明是哪一部分让合取命题为假。

保留这两个简单命题，换一种组合或加入否定，结果如下：

命题	真值	原因
4 是偶数或大于 10	真	第一个部分为真，这就满足了相容析取的条件
4 不大于 10	真	这是对假命题“4 大于 10”的否定
4 是偶数且不大于 10	真	两个部分都为真

如果你写的是“合取命题为真，因为 4 是偶数”，那就只检查了其中一个部分。回头检查第二个部分，确认两个条件是否同时满足。即使题目换了数字或调换了两个命题的顺序，这种检查方法也适用。

为什么两个部分都为真时，“或”仍然为真？

这里使用的是相容析取。例如，“12 是偶数或能被 3 整除”为真。两个部分都为真，并不会让析取命题变成假命题。

日常对话中的“或”有时表示只能选一个，比如点套餐时，饮料只能选一种。因此，不能直接把日常对话中的含义套用到符号 ∨ 上。如果题目要求“两个命题中恰好一个为真，不能同时为真”，描述的就是不相容析取，也叫异或：恰好一个命题为真时，结果为真；两个都为真或都为假时，结果为假。OpenStax 关于复合命题的讲解解释了“或”的这两种用法。

注意否定的位置

“4 大于 10”的否定是“4 不大于 10”。对于实数，x > 10 的否定是 x ≤ 10，因为否定也包含相等的情况。

否定一个复合命题时，需要留意括号。沿用第一个例子的真值，p 为真，q 为假：

• ¬(p ∧ q) 为真：先计算合取，得到假，再否定这个结果。
• (¬p) ∧ q 为假：只否定 p，得到假，再与同样为假的 q 进行合取。

在 ¬(p ∧ q) 中，否定作用于括号内的整个表达式，所以先计算合取的真值，再取否定。而在 (¬p) ∧ q 中，否定只作用于 p。因此，判断真值时必须看清否定的范围；上面两种写法就得到了不同的结果。

先做题，再看答案

为每道题写出真值和一句简短的理由。尤其要对比前两题：简单命题完全相同，改变的只有连接词。

1. “9 是奇数且小于 5”。
2. “9 是奇数或小于 5”。
3. “8 是奇数或大于 20”。
4. “15 不是 5 的倍数”。
5. 如果 p 为假，q 为真，p ∨ (¬q) 的真值是什么？
6. “18 是偶数或是 3 的倍数”。判断命题的真值，并解释两个部分同时为真对结果有什么影响。

答案与解析

1. 假。 9 确实是奇数，但它不小于 5。真与假进行合取，结果为假。
2. 真。 两个部分的真值没有变化，但相容析取只需要“9 是奇数”这个部分为真就够了。
3. 假。 8 不是奇数，也不大于 20。这是相容析取唯一为假的情况：两个部分都为假。
4. 假。 15 是 5 的倍数，因为 15 = 3 × 5。“15 是 5 的倍数”为真，所以它的否定为假。
5. 假。 因为 q 为真，所以 ¬q 为假。此时运算变成了两个假命题的析取。
6. 真。 18 是偶数，也是 3 的倍数。两个部分同时为真时，相容析取为真；它不要求恰好只有一个命题为真。

把自己犯的错做成卡片

根据出错的原因设计卡片。如果你混淆了两种连接词，就保留相同的真值，只替换连接词。如果错在否定，就在卡片正面清楚地标出否定的位置。

卡片正面	卡片背面
p 为真，q 为假。p ∧ q 的真值是什么？为什么？	假；合取要求两个命题都为真
p 为真，q 为假。p ∨ q 的真值是什么？	真；至少有一个命题为真
对于实数，x > 10 的否定是什么？	x ≤ 10；否定包含相等的情况
p 为假，q 为真。计算 p ∨ (¬q) 的真值	假；q 的否定为假，假与假进行析取，结果为假

先作答，再翻到背面核对，然后在纸上换一组数字再做一道题。你可以用纸质卡片，也可以在应用中制作正反面卡片，具体步骤见入门指南。想进一步运用这种方法，可以阅读如何用抽认卡学习数学和如何制作更清晰的抽认卡。