قيمة الصواب لعبارتي الوصل والفصل: جدول وأمثلة محلولة

«العدد 4 زوجي وأكبر من 10» عبارة خاطئة، مع أن الجزء الأول منها صحيح. قيمة الصواب لعبارة الوصل تكون صوابًا فقط إذا كانت العبارتان المكوّنتان لها صحيحتين. استبدل «و» بـ«أو» في المثال نفسه، فتصبح العبارة صحيحة؛ لأن الفصل الشامل يكفي فيه صدق عبارة واحدة على الأقل. الأعداد لم تتغير، لكن الرابط غيّر الحكم.

لحل هذا النوع من المسائل، حدّد قيمة كل جزء، ثم طبّق قاعدة الرابط. وجود معلومة صحيحة داخل الجملة لا يكفي وحده للحكم على الجملة كلها.

ابدأ بالعبارتين البسيطتين

العبارة المنطقية هنا جملة خبرية يمكن الحكم عليها بالصواب أو الخطأ. مثلًا، «العدد 4 زوجي» صحيحة؛ إذ يقبل 4 القسمة على 2 دون باقٍ. أما «العدد 4 أكبر من 10» فخاطئة.

لنسمّ الأولى p والثانية q. هذان الرمزان يختصران الجملتين، ولا يغيّران معناهما. نكتب قيمة كل عبارة إلى جانب رمزها:

• p: العدد 4 زوجي — صواب.
• q: العدد 4 أكبر من 10 — خطأ.

انتبه إذا احتوت المسألة على متغير. الجملة «العدد x أكبر من 10» لا يمكن الحكم عليها بالصواب أو الخطأ من دون معرفة قيمة x أو شروط تكفي لتحديد الحكم. في أمثلتنا سنستخدم أعدادًا محددة حتى يكون التركيز على الرابط المنطقي.

جدول الصواب للوَصل والفصل والنفي

الوصل، ورمزه ∧، يعني «و»: يجب أن تصدق العبارتان معًا. الفصل الشامل، ورمزه ∨، يعني «أو»: يكفي صدق واحدة منهما، ويشمل حالة صدقهما معًا. النفي، ورمزه ¬، يقلب قيمة العبارة. هذه القواعد موضحة في درس بناء جداول الصواب من OpenStax.

p	q	الوصل p ∧ q	الفصل p ∨ q	النفي ¬p
صواب	صواب	صواب	صواب	خطأ
صواب	خطأ	خطأ	صواب	خطأ
خطأ	صواب	خطأ	صواب	صواب
خطأ	خطأ	خطأ	خطأ	صواب

اقرأ الجدول أفقيًا. اختر أولًا الصف الموافق لقيمتي p وq، ثم انتقل إلى عمود العملية المطلوبة. العمود الأخير يعتمد على p وحدها؛ لذلك لا يتغير نفيها عندما تتغير q.

للتذكّر: الوصل له حالة صواب واحدة، والفصل الشامل له حالة خطأ واحدة. لا تحتاج إلى حفظ أربع جمل منفصلة لكل عملية إذا فهمت شرط صدقها.

حل مثال العدد 4 خطوة بخطوة

المطلوب تحديد قيمة الصواب للعبارة: «العدد 4 زوجي وأكبر من 10».

1. افصل الجملة عند الرابط «و»: «4 زوجي» و«4 أكبر من 10».
2. احكم على كل جزء: الأول صواب، والثاني خطأ.
3. حدّد العملية: «و» تعني الوصل p ∧ q.
4. طبّق القاعدة: الوصل بين صواب وخطأ يعطي خطأ، لأن الشرطين لم يتحققا معًا.

الإجابة الكاملة: العبارة خاطئة؛ لأن 4 ليس أكبر من 10، والوصل يتطلب صدق الجزأين. اكتب السبب مع الإجابة، حتى توضح أي جزء جعل الوصل خاطئًا.

والآن استخدم الجزأين نفسيهما مع عمليات أخرى:

العبارة	قيمتها	السبب
4 زوجي أو أكبر من 10	صواب	الجزء الأول صحيح، وهذا يكفي للفصل الشامل
4 ليس أكبر من 10	صواب	نفي العبارة الخاطئة «4 أكبر من 10»
4 زوجي وليس أكبر من 10	صواب	كلا الجزأين صحيح

إذا كتبت «الوصل صواب لأن 4 زوجي»، فقد تحققت من جزء واحد فقط. ارجع إلى الجزء الثاني، وتحقّق مما إذا كان الشرطان قد تحققا معًا. هذا التصحيح يظل مفيدًا عندما تتغير الأعداد أو ترتيب العبارتين.

لماذا تبقى «أو» صحيحة إذا صحّ الجزآن؟

في هذا الدرس نستخدم الفصل الشامل. مثلًا: «العدد 12 زوجي أو يقبل القسمة على 3» صحيحة. الجزآن صحيحان، واجتماعهما لا يُبطل الفصل.

قد تستعمل «أو» في الكلام اليومي بمعنى اختيار واحد فقط، مثل عرض يتيح اختيار مشروب واحد. لهذا لا ننقل معنى المحادثة تلقائيًا إلى الرمز ∨. عندما تشترط المسألة «إحدى العبارتين فقط، وليس كلتيهما»، فهي تصف فصلًا حصريًا: يكون صوابًا عندما تصدق عبارة واحدة فقط، وخطأ عندما تصدق العبارتان معًا أو تخطئان معًا. يشرح درس العبارات المركبة من OpenStax هذا الفرق بين استعمالات «أو».

انتبه إلى موضع النفي

نفي «العدد 4 أكبر من 10» هو «العدد 4 ليس أكبر من 10». وعند التعامل مع الأعداد الحقيقية، نفي x > 10 هو x ≤ 10؛ فحالة المساواة تدخل في النفي أيضًا.

أما نفي جملة مركبة فيحتاج إلى الانتباه للأقواس. باستخدام قيم المثال الأول، p صحيحة وq خاطئة:

• ¬(p ∧ q) صحيحة: نحسب الوصل أولًا فنحصل على خطأ، ثم ننفي النتيجة.
• (¬p) ∧ q خاطئة: ننفي p فقط فتصبح خاطئة، ثم نصلها بـq الخاطئة.

في ¬(p ∧ q)، يشمل النفي كل ما داخل الأقواس؛ لذلك نحسب قيمة الوصل قبل نفيها. أما في (¬p) ∧ q، فالنفي يخص p وحدها. موضع النفي جزء من المسألة، وقد يغيّر الإجابة كما حدث هنا.

جرّب قبل قراءة الإجابات

اكتب لكل سؤال قيمة الصواب وسببًا قصيرًا. قارن السؤالين الأولين تحديدًا: العبارتان البسيطتان متماثلتان، والرابط وحده يتغير.

1. «العدد 9 فردي وأصغر من 5».
2. «العدد 9 فردي أو أصغر من 5».
3. «العدد 8 فردي أو أكبر من 20».
4. «العدد 15 ليس من مضاعفات 5».
5. إذا كانت p خاطئة وq صحيحة، فما قيمة p ∨ (¬q)؟
6. «العدد 18 زوجي أو من مضاعفات 3». حدّد قيمة العبارة، ووضّح أثر صدق الجزأين معًا.

الإجابات مع السبب

1. خطأ. العدد 9 فردي فعلًا، لكنه ليس أصغر من 5. الوصل بين صواب وخطأ يعطي خطأ.
2. صواب. قيمتا الجزأين لم تتغيرا، لكن الفصل الشامل يكتفي بالجزء الصحيح «9 فردي».
3. خطأ. العدد 8 ليس فرديًا وليس أكبر من 20. هذه حالة الخطأ الوحيدة للفصل الشامل: كلا الجزأين خاطئ.
4. خطأ. العدد 15 من مضاعفات 5 لأن 15 = 3 × 5. العبارة «15 من مضاعفات 5» صحيحة، فنفيها خاطئ.
5. خطأ. بما أن q صحيحة، فإن ¬q خاطئة. تصبح العملية فصلًا بين عبارتين خاطئتين.
6. صواب. العدد 18 زوجي ومن مضاعفات 3. صدق الجزأين معًا يجعل الفصل الشامل صوابًا؛ فهو لا يشترط أن تصدق عبارة واحدة فقط.

حوّل الخطأ الذي وقعت فيه إلى بطاقة

اختر بطاقة تعالج سبب الخطأ. إذا خلطت بين الرابطين، استخدم القيم نفسها وبدّل العملية في السؤال. وإذا أخطأت في النفي، اجعل موضعه واضحًا على وجه البطاقة.

وجه البطاقة	ظهر البطاقة
p صواب وq خطأ. ما قيمة p ∧ q؟ ولماذا؟	خطأ؛ الوصل يتطلب صدق العبارتين
p صواب وq خطأ. ما قيمة p ∨ q؟	صواب؛ توجد عبارة صحيحة واحدة على الأقل
ما نفي x > 10 للأعداد الحقيقية؟	x ≤ 10؛ النفي يشمل المساواة
p خطأ وq صواب. احسب p ∨ (¬q)	خطأ؛ نفي q خطأ، والفصل بين خطأ وخطأ يعطي خطأ

أجب قبل قلب البطاقة، ثم حل مثالًا بأعداد جديدة على الورق. يمكنك استخدام بطاقات ورقية أو بطاقات بوجه وظهر في التطبيق؛ يشرح دليل البدء طريقة البداية. ولتوسيع هذا الأسلوب، اقرأ استخدام البطاقات للرياضيات وصياغة بطاقات أوضح.