高考数学导数公式与题型闪卡：单调性、极值与切线

Cards in this deck

1. Card 1

   Question

   函数 $f$ 在 $x_0$ 处的导数定义式？

   Answer

   若极限存在，导数为：

   $$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

2. Card 2

   Question

   简单复合函数 $f(ax+b)$ 怎样求导？

   Answer

   $[f(ax+b)]'=a f'(ax+b)$。先对外层求导，再乘内层 $ax+b$ 的导数 $a$。

3. Card 3

   Question

   $(\sin x)'$ 是什么？

   Answer

   $(\sin x)'=\cos x$。这里的角度使用弧度制。

4. Card 4

   Question

   乘积 $uv$ 怎样求导？

   Answer

   $(uv)'=u'v+uv'$。不能写成 $u'v'$。

5. Card 5

   Question

   $(e^x)'$ 是什么？

   Answer

   $(e^x)'=e^x$。它的导数仍是自身。

6. Card 6

   Question

   幂函数 $x^n$ 的导数？

   Answer

   $(x^n)'=nx^{n-1}$，在原函数有定义且可导的范围内使用。

7. Card 7

   Question

   求导或列导数符号表之前，第一步检查什么？

   Answer

   先写原函数的定义域。分母、根式和对数会切断区间，也会限制临界点是否有效。

8. Card 8

   Question

   题目给出的“切点”坐标要先核对什么？

   Answer

   核对它确实在曲线上，即 $y_0=f(x_0)$。不在曲线上的给定点通常只是切线经过的外点。

9. Card 9

   Question

   $f(x)=x^2e^x$ 的导数？

   Answer

   $f'(x)=e^x(x^2+2x)$。由乘积法则得 $2xe^x+x^2e^x$。

10. Card 10

    Question

    函数在一点可导，能推出什么连续性结论？

    Answer

    可导必连续。反过来不成立，例如 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可导。

11. Card 11

    Question

    $\sin(2x+1)$ 求导时应识别哪条规则？

    Answer

    简单复合函数求导。结果是 $2\cos(2x+1)$，内层导数 $2$ 必须乘上。

12. Card 12

    Question

    $(\ln x)'$ 是什么？

    Answer

    $(\ln x)'=\frac1x$，条件是 $x>0$。

13. Card 13

    Question

    商 $\frac{u}{v}$ 怎样求导？

    Answer

    $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，并且 $v\ne0$。分子次序不要颠倒。

14. Card 14

    Question

    $f'(x_0)$ 在几何上表示什么？

    Answer

    曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率，前提是该点可导。

15. Card 15

    Question

    指数与对数求导公式中的底数 $a$ 要满足什么条件？

    Answer

    $a>0$ 且 $a\ne1$。这样 $a^x$ 与 $\log_a x$ 都按高中基本函数约定成立。

16. Card 16

    Question

    $f(x)=(3x-2)^5$ 的导数？

    Answer

    $f'(x)=15(3x-2)^4$。外层给出 $5(3x-2)^4$，再乘内层导数 $3$。

17. Card 17

    Question

    $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的导数？

    Answer

    $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$，定义域为 $x>0$。

18. Card 18

    Question

    求出 $f'(x)$ 后，进入函数性质分析前检查哪三件事？

    Answer

    检查定义域、化简或因式分解、以及求导规则中的条件。这样才能正确找分界点并判断符号。

19. Card 19

    Question

    局部极值与区间最值有什么区别？

    Answer

    局部极值只比较某点附近；最大值、最小值要比较整个指定区间。局部极大值不一定是区间最大值。

20. Card 20

    Question

    和差与常数倍怎样求导？

    Answer

    $(u\pm v)'=u'\pm v'$，$(Cu)'=Cu'$。先逐项求导，再保留原来的线性组合。

21. Card 21

    Question

    在区间 $I$ 上有 $f'(x)>0$，可得什么单调性？

    Answer

    $f$ 在 $I$ 上严格递增。若 $f'(x)<0$，则严格递减。

22. Card 22

    Question

    $(\cos x)'$ 是什么？

    Answer

    $(\cos x)'=-\sin x$。负号不能漏，角度使用弧度制。

23. Card 23

    Question

    $(a^x)'$ 是什么？

    Answer

    $(a^x)'=a^x\ln a$。高中指数函数通常取 $a>0$ 且 $a\ne1$。

24. Card 24

    Question

    连续函数在闭区间上一定有什么最值结论？

    Answer

    一定能取得最大值和最小值。这个结论保证最值存在，但具体位置仍需计算候选点。

25. Card 25

    Question

    用导数列符号表的基本步骤？

    Answer

    写定义域，求并化简 $f'$，找 $f'=0$ 或导数不存在的分界点，按顺序分区间判断正负。

26. Card 26

    Question

    曲线在横坐标 $x_0$ 处的切线斜率？

    Answer

    $k=f'(x_0)$。还要确认 $x_0$ 在定义域内且函数在该点可导。

27. Card 27

    Question

    $\left(\frac1x\right)'$ 是什么？

    Answer

    $\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$，条件是 $x\ne0$。

28. Card 28

    Question

    “极值点”和“极值”分别指什么？

    Answer

    极值点通常指横坐标 $x_0$；极值指函数值 $f(x_0)$。答题时不要把点、横坐标和函数值混写。

29. Card 29

    Question

    可导函数在内部点 $x_0$ 取得极值，有什么必要条件？

    Answer

    $f'(x_0)=0$。这只是必要条件，不是充分条件。

30. Card 30

    Question

    $(\log_a x)'$ 是什么？

    Answer

    $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$，其中 $x>0$、$a>0$ 且 $a\ne1$。

31. Card 31

    Question

    $f'(x)=(x-1)(x+2)$ 时，$f$ 的单调区间？

    Answer

    递增区间为 $(-\infty,-2)$、$(1,+\infty)$，递减区间为 $(-2,1)$。符号顺序是正、负、正。

32. Card 32

    Question

    曲线切线与直线 $y=kx+b$ 平行时，应列什么条件？

    Answer

    $f'(t)=k$，其中 $t$ 是切点横坐标。再用切点坐标求所需方程或参数。

33. Card 33

    Question

    函数在 $x_0$ 连续，并在 $x_0$ 两侧的相邻开区间可导；一阶导数怎样判定极大值与极小值？

    Answer

    $f'$ 在 $x_0$ 左侧为正、右侧为负时，$x_0$ 是极大值点；左侧为负、右侧为正时，$x_0$ 是极小值点；两侧符号不变时不是极值点。

34. Card 34

    Question

    切线经过给定点时，能直接用该点横坐标计算 $f'$ 吗？

    Answer

    不能，除非该点已确认是切点。一般要另设切点 $t$，再用共点方程求解。

35. Card 35

    Question

    定义域被断点分开时，单调区间怎样处理？

    Answer

    分别在每个连通区间判断，不能跨过不在定义域内的点合并单调区间。

36. Card 36

    Question

    曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线方程？

    Answer

    切线方程是：

    $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

37. Card 37

    Question

    求连续函数在闭区间 $[a,b]$ 上的最值，候选值来自哪里？

    Answer

    来自区间内部的有效临界点和两个端点。算出这些函数值后统一比较。

38. Card 38

    Question

    可导函数在区间上递增，对导数有什么必要条件？

    Answer

    $f'(x)\ge0$。递增不要求每一点都有 $f'(x)>0$，例如 $x^3$ 在 $0$ 处导数为零。

39. Card 39

    Question

    同一函数有两个分开的递增区间，答案可写成它们的并集吗？

    Answer

    通常分别写两个递增区间，不用并集符号把它们说成一个单调区间。单调性是在单个区间内比较任意两点。

40. Card 40

    Question

    $y=x^2$ 在 $x=1$ 处的切线方程？

    Answer

    $y=2x-1$。切点是 $(1,1)$，斜率是 $f'(1)=2$。

41. Card 41

    Question

    $f(x)=x^3-3x$ 的极值？

    Answer

    在 $x=-1$ 处取极大值 $2$，在 $x=1$ 处取极小值 $-2$。导数为 $3(x-1)(x+1)$。

42. Card 42

    Question

    用导数研究单调、极值和闭区间最值的推荐顺序？

    Answer

    定义域 → 求导并分解 → 找分界点 → 列符号表 → 对不可导点检查连续性或直接比较点值 → 写单调与极值 → 加入端点比较最值。

43. Card 43

    Question

    $f'(x)\ge0$ 能否直接推出 $f$ 严格递增？

    Answer

    只能先推出单调不减。若还知道 $f$ 不在任何子区间上恒为常数，例如导数仅在孤立点取零，才可判严格递增。

44. Card 44

    Question

    含参导数题开始分类前，先检查哪种退化？

    Answer

    先检查参数是否让最高次项、分母或关键因子消失。退化值会改变方程次数、定义域或分界点数量，必须单列。

45. Card 45

    Question

    曲线在 $t$ 处的切线经过外点 $(x_P,y_P)$，核心方程？

    Answer

    $y_P-f(t)=f'(t)(x_P-t)$。未知量是切点 $t$，不是直接把外点横坐标代入导数。

46. Card 46

    Question

    $(\sqrt{x})'$ 是什么？

    Answer

    $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，求导公式适用于 $x>0$；原函数在 $x=0$ 有定义，但该点不可导。

47. Card 47

    Question

    $f'$ 的偶重零点通常怎样影响符号？

    Answer

    通常不改变符号。若分解后含 $(x-a)^2$ 且其余因子在 $a$ 附近不变号，$a$ 不是由一阶导数判出的极值点。

48. Card 48

    Question

    用导数证明函数在区间上单调，最短论证链是什么？

    Answer

    写明区间与可导性，求 $f'$，证明其在整个区间恒正或恒负，再给出严格递增或递减结论。

49. Card 49

    Question

    证明 $L(x)\ge R(x)$ 的常用导数入口？

    Answer

    构造 $F(x)=L(x)-R(x)$，再证明 $F$ 的最小值不小于零。先找等号点，常能看出应研究的临界点。

50. Card 50

    Question

    $f(x)=x^2-2x$ 在 $[0,3]$ 上的最大值与最小值？

    Answer

    最小值为 $-1$，在 $x=1$ 处取得；最大值为 $3$，在 $x=3$ 处取得。比较 $f(0)=0$、$f(1)=-1$、$f(3)=3$。

51. Card 51

    Question

    切点横坐标未知、切线斜率已知时，先解什么方程？

    Answer

    先解 $f'(t)=k$。每个有效解 $t$ 都要回代点斜式，可能得到不止一条切线。

52. Card 52

    Question

    临界点一定是极值点吗？

    Answer

    不一定。临界点是函数定义域内使 $f'=0$ 或导数不存在的点；它只是极值候选点，应直接比较点值与附近函数值；若该点连续，也可检查两侧单调性。

53. Card 53

    Question

    二次式 $q(x)=Ax^2+Bx+C$ 对所有实数恒非负的条件？

    Answer

    若 $A>0$，需 $\Delta=B^2-4AC\le0$；退化时还可有 $A=B=0$ 且 $C\ge0$。其余一次或开口向下情形不能恒非负。

54. Card 54

    Question

    怎样用单调性证明方程 $F(x)=0$ 至多一根？

    Answer

    证明 $F$ 在目标区间严格单调。严格单调函数不可能在两个不同点都取零。

55. Card 55

    Question

    构造不等式辅助函数时，等号点有什么用？

    Answer

    等号点通常应让辅助函数取零，并常对应导数为零的最值点。用它校准作差方向和待证最值。

56. Card 56

    Question

    $f'(x_0)=0$ 是否足以说明 $x_0$ 是极值点？

    Answer

    不足。例如 $f(x)=x^3$ 有 $f'(0)=0$，但导数在 $0$ 两侧都非负，$0$ 不是极值点。

57. Card 57

    Question

    参数变化使导数方程出现重根时，为什么常是分类边界？

    Answer

    重根对应两个分界点合并，导数符号结构可能从“两次变号”变成“不变号”。因此判别式为零或根重合要单独检查。

58. Card 58

    Question

    常数函数 $f(x)=C$ 的导数？

    Answer

    $f'(x)=0$。常数不随 $x$ 变化，瞬时变化率为零。

59. Card 59

    Question

    函数图象有一条切线，能否直接断言图象总在切线同一侧？

    Answer

    不能。相切只给局部共点同斜率；全局大小关系还要对两式作差，再用单调性或最值证明。

60. Card 60

    Question

    怎样用极值结构判断方程 $f(x)=c$ 的实根个数？

    Answer

    先求 $f$ 的单调区间和极值，再比较水平线 $y=c$ 与各段值域。根数等于有效交点数。

61. Card 61

    Question

    闭区间端点会成为最大值或最小值候选吗？

    Answer

    会。端点不需要满足 $f'=0$，但必须与区间内部候选点的函数值一起比较。

62. Card 62

    Question

    $f'(x)=(x-2)^2$ 的符号能说明什么？

    Answer

    $f$ 在全体实数上严格递增；$f'(2)=0$，但导数在 $2$ 两侧都为正，所以 $x=2$ 不是极值点。

63. Card 63

    Question

    两条非竖直直线垂直时，斜率满足什么关系？

    Answer

    $k_1k_2=-1$。用于切线题时先写 $f'(t)k=-1$，并留意竖直线等特殊情况。

64. Card 64

    Question

    $f_a(x)=g(x)-a$ 的零点问题可怎样看参数 $a$？

    Answer

    把它改写成 $g(x)=a$，即水平线 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 的交点问题。先求 $g$ 的值域和极值。

65. Card 65

    Question

    函数在开区间上连续，是否一定能取得最大值和最小值？

    Answer

    不一定。例如 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上既没有最大值也没有最小值：所有函数值都严格介于 $0$ 与 $1$ 之间。

66. Card 66

    Question

    含参导数的零点已求出后，还要比较什么？

    Answer

    比较各根的大小，并检查它们是否落在原定义域或指定区间内。根序变化与越过端点都可能产生新的参数分界。

67. Card 67

    Question

    怎样用导数证明 $e^x\ge x+1$？

    Answer

    令 $F(x)=e^x-x-1$。有 $F'(x)=e^x-1$，所以 $F$ 在 $x=0$ 处取最小值 $0$，等号仅在 $x=0$。

68. Card 68

    Question

    多项式 $f$ 在全体实数上严格递增，可怎样转化为导数条件？

    Answer

    常转化为 $f'(x)\ge0$ 对所有实数成立，并排除 $f'$ 在某个区间恒为零。不要把必要条件误写成处处 $f'(x)>0$。

69. Card 69

    Question

    函数有定义但导数不存在的内点，要不要检查极值？

    Answer

    要。它是临界候选点，应直接比较点值与附近函数值；只有已知该点连续时，才能用两侧单调性判断。

70. Card 70

    Question

    含参分类讨论结束前，应复查哪些边界值？

    Answer

    复查最高次项消失、判别式为零、根重合、根碰到定义域或区间端点，以及不等号取等的参数值。

71. Card 71

    Question

    直线 $y=kx+b$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切，可怎样反求参数？

    Answer

    设切点横坐标为 $t$，联立 $f'(t)=k$ 与 $f(t)=kt+b$。两个条件分别锁定斜率和共点。

72. Card 72

    Question

    怎样用导数证明 $\ln x\le x-1$？

    Answer

    令 $F(x)=x-1-\ln x$，$x>0$。有 $F'(x)=1-\frac1x$，所以 $F$ 在 $x=1$ 处取最小值 $0$，等号仅在 $x=1$。

73. Card 73

    Question

    闭区间最值题中，找到极值后为什么还不能停？

    Answer

    极值是局部结论。还要计算所有有效临界点和端点的函数值，再比较全区间最大值与最小值。

74. Card 74

    Question

    证明方程在区间内恰有一根，需要哪两部分？

    Answer

    先用连续性和端点异号等条件证明至少一根，再用严格单调性证明至多一根。存在性与唯一性缺一不可。

75. Card 75

    Question

    $f_a'(x)=x-a$，要使 $f_a$ 在 $[0,2]$ 上单调不减，$a$ 的范围？

    Answer

    $a\le0$。需要 $x-a\ge0$ 对每个 $x\in[0,2]$ 成立，其最小值是 $-a$。

76. Card 76

    Question

    函数 $f$ 在 $0$、$2$ 处连续，并在 $(-\infty,0)$、$(0,2)$、$(2,+\infty)$ 上可导；若 $f'$ 在两侧区间为正、中间区间为负，$f$ 怎样变化？

    Answer

    $f$ 先增、后减、再增；$0$ 是极大值点，$2$ 是极小值点。

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