高考数学导数公式与题型闪卡：单调性、极值与切线

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1. Karte 1

   Frage

   函数 $f$ 在 $x_0$ 处的导数定义式？

   Antwort

   若极限存在，导数为：

   $$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

2. Karte 2

   Frage

   简单复合函数 $f(ax+b)$ 怎样求导？

   Antwort

   $[f(ax+b)]'=a f'(ax+b)$。先对外层求导，再乘内层 $ax+b$ 的导数 $a$。

3. Karte 3

   Frage

   $(\sin x)'$ 是什么？

   Antwort

   $(\sin x)'=\cos x$。这里的角度使用弧度制。

4. Karte 4

   Frage

   乘积 $uv$ 怎样求导？

   Antwort

   $(uv)'=u'v+uv'$。不能写成 $u'v'$。

5. Karte 5

   Frage

   $(e^x)'$ 是什么？

   Antwort

   $(e^x)'=e^x$。它的导数仍是自身。

6. Karte 6

   Frage

   幂函数 $x^n$ 的导数？

   Antwort

   $(x^n)'=nx^{n-1}$，在原函数有定义且可导的范围内使用。

7. Karte 7

   Frage

   求导或列导数符号表之前，第一步检查什么？

   Antwort

   先写原函数的定义域。分母、根式和对数会切断区间，也会限制临界点是否有效。

8. Karte 8

   Frage

   题目给出的“切点”坐标要先核对什么？

   Antwort

   核对它确实在曲线上，即 $y_0=f(x_0)$。不在曲线上的给定点通常只是切线经过的外点。

9. Karte 9

   Frage

   $f(x)=x^2e^x$ 的导数？

   Antwort

   $f'(x)=e^x(x^2+2x)$。由乘积法则得 $2xe^x+x^2e^x$。

10. Karte 10

    Frage

    函数在一点可导，能推出什么连续性结论？

    Antwort

    可导必连续。反过来不成立，例如 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可导。

11. Karte 11

    Frage

    $\sin(2x+1)$ 求导时应识别哪条规则？

    Antwort

    简单复合函数求导。结果是 $2\cos(2x+1)$，内层导数 $2$ 必须乘上。

12. Karte 12

    Frage

    $(\ln x)'$ 是什么？

    Antwort

    $(\ln x)'=\frac1x$，条件是 $x>0$。

13. Karte 13

    Frage

    商 $\frac{u}{v}$ 怎样求导？

    Antwort

    $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，并且 $v\ne0$。分子次序不要颠倒。

14. Karte 14

    Frage

    $f'(x_0)$ 在几何上表示什么？

    Antwort

    曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率，前提是该点可导。

15. Karte 15

    Frage

    指数与对数求导公式中的底数 $a$ 要满足什么条件？

    Antwort

    $a>0$ 且 $a\ne1$。这样 $a^x$ 与 $\log_a x$ 都按高中基本函数约定成立。

16. Karte 16

    Frage

    $f(x)=(3x-2)^5$ 的导数？

    Antwort

    $f'(x)=15(3x-2)^4$。外层给出 $5(3x-2)^4$，再乘内层导数 $3$。

17. Karte 17

    Frage

    $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的导数？

    Antwort

    $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$，定义域为 $x>0$。

18. Karte 18

    Frage

    求出 $f'(x)$ 后，进入函数性质分析前检查哪三件事？

    Antwort

    检查定义域、化简或因式分解、以及求导规则中的条件。这样才能正确找分界点并判断符号。

19. Karte 19

    Frage

    局部极值与区间最值有什么区别？

    Antwort

    局部极值只比较某点附近；最大值、最小值要比较整个指定区间。局部极大值不一定是区间最大值。

20. Karte 20

    Frage

    和差与常数倍怎样求导？

    Antwort

    $(u\pm v)'=u'\pm v'$，$(Cu)'=Cu'$。先逐项求导，再保留原来的线性组合。

21. Karte 21

    Frage

    在区间 $I$ 上有 $f'(x)>0$，可得什么单调性？

    Antwort

    $f$ 在 $I$ 上严格递增。若 $f'(x)<0$，则严格递减。

22. Karte 22

    Frage

    $(\cos x)'$ 是什么？

    Antwort

    $(\cos x)'=-\sin x$。负号不能漏，角度使用弧度制。

23. Karte 23

    Frage

    $(a^x)'$ 是什么？

    Antwort

    $(a^x)'=a^x\ln a$。高中指数函数通常取 $a>0$ 且 $a\ne1$。

24. Karte 24

    Frage

    连续函数在闭区间上一定有什么最值结论？

    Antwort

    一定能取得最大值和最小值。这个结论保证最值存在，但具体位置仍需计算候选点。

25. Karte 25

    Frage

    用导数列符号表的基本步骤？

    Antwort

    写定义域，求并化简 $f'$，找 $f'=0$ 或导数不存在的分界点，按顺序分区间判断正负。

26. Karte 26

    Frage

    曲线在横坐标 $x_0$ 处的切线斜率？

    Antwort

    $k=f'(x_0)$。还要确认 $x_0$ 在定义域内且函数在该点可导。

27. Karte 27

    Frage

    $\left(\frac1x\right)'$ 是什么？

    Antwort

    $\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$，条件是 $x\ne0$。

28. Karte 28

    Frage

    “极值点”和“极值”分别指什么？

    Antwort

    极值点通常指横坐标 $x_0$；极值指函数值 $f(x_0)$。答题时不要把点、横坐标和函数值混写。

29. Karte 29

    Frage

    可导函数在内部点 $x_0$ 取得极值，有什么必要条件？

    Antwort

    $f'(x_0)=0$。这只是必要条件，不是充分条件。

30. Karte 30

    Frage

    $(\log_a x)'$ 是什么？

    Antwort

    $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$，其中 $x>0$、$a>0$ 且 $a\ne1$。

31. Karte 31

    Frage

    $f'(x)=(x-1)(x+2)$ 时，$f$ 的单调区间？

    Antwort

    递增区间为 $(-\infty,-2)$、$(1,+\infty)$，递减区间为 $(-2,1)$。符号顺序是正、负、正。

32. Karte 32

    Frage

    曲线切线与直线 $y=kx+b$ 平行时，应列什么条件？

    Antwort

    $f'(t)=k$，其中 $t$ 是切点横坐标。再用切点坐标求所需方程或参数。

33. Karte 33

    Frage

    函数在 $x_0$ 连续，并在 $x_0$ 两侧的相邻开区间可导；一阶导数怎样判定极大值与极小值？

    Antwort

    $f'$ 在 $x_0$ 左侧为正、右侧为负时，$x_0$ 是极大值点；左侧为负、右侧为正时，$x_0$ 是极小值点；两侧符号不变时不是极值点。

34. Karte 34

    Frage

    切线经过给定点时，能直接用该点横坐标计算 $f'$ 吗？

    Antwort

    不能，除非该点已确认是切点。一般要另设切点 $t$，再用共点方程求解。

35. Karte 35

    Frage

    定义域被断点分开时，单调区间怎样处理？

    Antwort

    分别在每个连通区间判断，不能跨过不在定义域内的点合并单调区间。

36. Karte 36

    Frage

    曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线方程？

    Antwort

    切线方程是：

    $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

37. Karte 37

    Frage

    求连续函数在闭区间 $[a,b]$ 上的最值，候选值来自哪里？

    Antwort

    来自区间内部的有效临界点和两个端点。算出这些函数值后统一比较。

38. Karte 38

    Frage

    可导函数在区间上递增，对导数有什么必要条件？

    Antwort

    $f'(x)\ge0$。递增不要求每一点都有 $f'(x)>0$，例如 $x^3$ 在 $0$ 处导数为零。

39. Karte 39

    Frage

    同一函数有两个分开的递增区间，答案可写成它们的并集吗？

    Antwort

    通常分别写两个递增区间，不用并集符号把它们说成一个单调区间。单调性是在单个区间内比较任意两点。

40. Karte 40

    Frage

    $y=x^2$ 在 $x=1$ 处的切线方程？

    Antwort

    $y=2x-1$。切点是 $(1,1)$，斜率是 $f'(1)=2$。

41. Karte 41

    Frage

    $f(x)=x^3-3x$ 的极值？

    Antwort

    在 $x=-1$ 处取极大值 $2$，在 $x=1$ 处取极小值 $-2$。导数为 $3(x-1)(x+1)$。

42. Karte 42

    Frage

    用导数研究单调、极值和闭区间最值的推荐顺序？

    Antwort

    定义域 → 求导并分解 → 找分界点 → 列符号表 → 对不可导点检查连续性或直接比较点值 → 写单调与极值 → 加入端点比较最值。

43. Karte 43

    Frage

    $f'(x)\ge0$ 能否直接推出 $f$ 严格递增？

    Antwort

    只能先推出单调不减。若还知道 $f$ 不在任何子区间上恒为常数，例如导数仅在孤立点取零，才可判严格递增。

44. Karte 44

    Frage

    含参导数题开始分类前，先检查哪种退化？

    Antwort

    先检查参数是否让最高次项、分母或关键因子消失。退化值会改变方程次数、定义域或分界点数量，必须单列。

45. Karte 45

    Frage

    曲线在 $t$ 处的切线经过外点 $(x_P,y_P)$，核心方程？

    Antwort

    $y_P-f(t)=f'(t)(x_P-t)$。未知量是切点 $t$，不是直接把外点横坐标代入导数。

46. Karte 46

    Frage

    $(\sqrt{x})'$ 是什么？

    Antwort

    $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，求导公式适用于 $x>0$；原函数在 $x=0$ 有定义，但该点不可导。

47. Karte 47

    Frage

    $f'$ 的偶重零点通常怎样影响符号？

    Antwort

    通常不改变符号。若分解后含 $(x-a)^2$ 且其余因子在 $a$ 附近不变号，$a$ 不是由一阶导数判出的极值点。

48. Karte 48

    Frage

    用导数证明函数在区间上单调，最短论证链是什么？

    Antwort

    写明区间与可导性，求 $f'$，证明其在整个区间恒正或恒负，再给出严格递增或递减结论。

49. Karte 49

    Frage

    证明 $L(x)\ge R(x)$ 的常用导数入口？

    Antwort

    构造 $F(x)=L(x)-R(x)$，再证明 $F$ 的最小值不小于零。先找等号点，常能看出应研究的临界点。

50. Karte 50

    Frage

    $f(x)=x^2-2x$ 在 $[0,3]$ 上的最大值与最小值？

    Antwort

    最小值为 $-1$，在 $x=1$ 处取得；最大值为 $3$，在 $x=3$ 处取得。比较 $f(0)=0$、$f(1)=-1$、$f(3)=3$。

51. Karte 51

    Frage

    切点横坐标未知、切线斜率已知时，先解什么方程？

    Antwort

    先解 $f'(t)=k$。每个有效解 $t$ 都要回代点斜式，可能得到不止一条切线。

52. Karte 52

    Frage

    临界点一定是极值点吗？

    Antwort

    不一定。临界点是函数定义域内使 $f'=0$ 或导数不存在的点；它只是极值候选点，应直接比较点值与附近函数值；若该点连续，也可检查两侧单调性。

53. Karte 53

    Frage

    二次式 $q(x)=Ax^2+Bx+C$ 对所有实数恒非负的条件？

    Antwort

    若 $A>0$，需 $\Delta=B^2-4AC\le0$；退化时还可有 $A=B=0$ 且 $C\ge0$。其余一次或开口向下情形不能恒非负。

54. Karte 54

    Frage

    怎样用单调性证明方程 $F(x)=0$ 至多一根？

    Antwort

    证明 $F$ 在目标区间严格单调。严格单调函数不可能在两个不同点都取零。

55. Karte 55

    Frage

    构造不等式辅助函数时，等号点有什么用？

    Antwort

    等号点通常应让辅助函数取零，并常对应导数为零的最值点。用它校准作差方向和待证最值。

56. Karte 56

    Frage

    $f'(x_0)=0$ 是否足以说明 $x_0$ 是极值点？

    Antwort

    不足。例如 $f(x)=x^3$ 有 $f'(0)=0$，但导数在 $0$ 两侧都非负，$0$ 不是极值点。

57. Karte 57

    Frage

    参数变化使导数方程出现重根时，为什么常是分类边界？

    Antwort

    重根对应两个分界点合并，导数符号结构可能从“两次变号”变成“不变号”。因此判别式为零或根重合要单独检查。

58. Karte 58

    Frage

    常数函数 $f(x)=C$ 的导数？

    Antwort

    $f'(x)=0$。常数不随 $x$ 变化，瞬时变化率为零。

59. Karte 59

    Frage

    函数图象有一条切线，能否直接断言图象总在切线同一侧？

    Antwort

    不能。相切只给局部共点同斜率；全局大小关系还要对两式作差，再用单调性或最值证明。

60. Karte 60

    Frage

    怎样用极值结构判断方程 $f(x)=c$ 的实根个数？

    Antwort

    先求 $f$ 的单调区间和极值，再比较水平线 $y=c$ 与各段值域。根数等于有效交点数。

61. Karte 61

    Frage

    闭区间端点会成为最大值或最小值候选吗？

    Antwort

    会。端点不需要满足 $f'=0$，但必须与区间内部候选点的函数值一起比较。

62. Karte 62

    Frage

    $f'(x)=(x-2)^2$ 的符号能说明什么？

    Antwort

    $f$ 在全体实数上严格递增；$f'(2)=0$，但导数在 $2$ 两侧都为正，所以 $x=2$ 不是极值点。

63. Karte 63

    Frage

    两条非竖直直线垂直时，斜率满足什么关系？

    Antwort

    $k_1k_2=-1$。用于切线题时先写 $f'(t)k=-1$，并留意竖直线等特殊情况。

64. Karte 64

    Frage

    $f_a(x)=g(x)-a$ 的零点问题可怎样看参数 $a$？

    Antwort

    把它改写成 $g(x)=a$，即水平线 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 的交点问题。先求 $g$ 的值域和极值。

65. Karte 65

    Frage

    函数在开区间上连续，是否一定能取得最大值和最小值？

    Antwort

    不一定。例如 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上既没有最大值也没有最小值：所有函数值都严格介于 $0$ 与 $1$ 之间。

66. Karte 66

    Frage

    含参导数的零点已求出后，还要比较什么？

    Antwort

    比较各根的大小，并检查它们是否落在原定义域或指定区间内。根序变化与越过端点都可能产生新的参数分界。

67. Karte 67

    Frage

    怎样用导数证明 $e^x\ge x+1$？

    Antwort

    令 $F(x)=e^x-x-1$。有 $F'(x)=e^x-1$，所以 $F$ 在 $x=0$ 处取最小值 $0$，等号仅在 $x=0$。

68. Karte 68

    Frage

    多项式 $f$ 在全体实数上严格递增，可怎样转化为导数条件？

    Antwort

    常转化为 $f'(x)\ge0$ 对所有实数成立，并排除 $f'$ 在某个区间恒为零。不要把必要条件误写成处处 $f'(x)>0$。

69. Karte 69

    Frage

    函数有定义但导数不存在的内点，要不要检查极值？

    Antwort

    要。它是临界候选点，应直接比较点值与附近函数值；只有已知该点连续时，才能用两侧单调性判断。

70. Karte 70

    Frage

    含参分类讨论结束前，应复查哪些边界值？

    Antwort

    复查最高次项消失、判别式为零、根重合、根碰到定义域或区间端点，以及不等号取等的参数值。

71. Karte 71

    Frage

    直线 $y=kx+b$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切，可怎样反求参数？

    Antwort

    设切点横坐标为 $t$，联立 $f'(t)=k$ 与 $f(t)=kt+b$。两个条件分别锁定斜率和共点。

72. Karte 72

    Frage

    怎样用导数证明 $\ln x\le x-1$？

    Antwort

    令 $F(x)=x-1-\ln x$，$x>0$。有 $F'(x)=1-\frac1x$，所以 $F$ 在 $x=1$ 处取最小值 $0$，等号仅在 $x=1$。

73. Karte 73

    Frage

    闭区间最值题中，找到极值后为什么还不能停？

    Antwort

    极值是局部结论。还要计算所有有效临界点和端点的函数值，再比较全区间最大值与最小值。

74. Karte 74

    Frage

    证明方程在区间内恰有一根，需要哪两部分？

    Antwort

    先用连续性和端点异号等条件证明至少一根，再用严格单调性证明至多一根。存在性与唯一性缺一不可。

75. Karte 75

    Frage

    $f_a'(x)=x-a$，要使 $f_a$ 在 $[0,2]$ 上单调不减，$a$ 的范围？

    Antwort

    $a\le0$。需要 $x-a\ge0$ 对每个 $x\in[0,2]$ 成立，其最小值是 $-a$。

76. Karte 76

    Frage

    函数 $f$ 在 $0$、$2$ 处连续，并在 $(-\infty,0)$、$(0,2)$、$(2,+\infty)$ 上可导；若 $f'$ 在两侧区间为正、中间区间为负，$f$ 怎样变化？

    Antwort

    $f$ 先增、后减、再增；$0$ 是极大值点，$2$ 是极小值点。

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