# Истинность конъюнкции и дизъюнкции: таблица и примеры

*2026-09-17*

«Число 4 чётное и больше 10» — ложное высказывание, хотя первая его часть истинна. **Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба высказывания, из которых она состоит.** Замените «и» на «или» в том же примере, и высказывание станет истинным: для нестрогой дизъюнкции достаточно хотя бы одной истинной части. Числа остались прежними, но логическая связка изменила результат.

Чтобы решить такую задачу, определите истинность каждой части, а затем примените правило связки. По одной истинной части нельзя определить истинность всего высказывания, не учитывая связку.

![Старая коробка для еды с двумя защёлками крупным планом: одна открыта, другая ещё закрыта; открыть коробку можно, только когда открыты обе](/blog/truth-values-conjunction-disjunction.png)

## Начните с двух простых высказываний

Здесь логическое высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Число 4 чётное» истинно: 4 делится на 2 без остатка. А «Число 4 больше 10» ложно.

Обозначим первое высказывание символом `p`, а второе — `q`. Символы сокращают запись, сохраняя смысл предложений. Запишем рядом с каждым символом значение истинности:

- `p`: число 4 чётное — истина.
- `q`: число 4 больше 10 — ложь.

Будьте внимательны, если в задаче есть переменная. Нельзя определить, истинно ли предложение «Число `x` больше 10», пока неизвестно значение `x` или условия, позволяющие сделать вывод. В примерах будем использовать конкретные числа, чтобы сосредоточиться на логической связке.

## Таблица истинности для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания

Конъюнкция, обозначаемая `∧`, означает «и»: оба высказывания должны быть истинными. Нестрогая дизъюнкция, обозначаемая `∨`, означает «или»: достаточно одного истинного высказывания, а случай, когда истинны оба, тоже подходит. Отрицание, обозначаемое `¬`, меняет значение истинности на противоположное. Эти правила объясняются в [уроке OpenStax о построении таблиц истинности](https://openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/2-3-constructing-truth-tables).

| `p` | `q` | Конъюнкция `p ∧ q` | Дизъюнкция `p ∨ q` | Отрицание `¬p` |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Истина | Истина | Истина | Истина | Ложь |
| Истина | Ложь | Ложь | Истина | Ложь |
| Ложь | Истина | Ложь | Истина | Истина |
| Ложь | Ложь | Ложь | Ложь | Истина |

Читайте таблицу по строкам. Сначала выберите строку со значениями `p` и `q`, затем найдите столбец нужной операции. Последний столбец зависит только от `p`: при изменении `q` значение `¬p` остаётся прежним.

Для запоминания: конъюнкция истинна только в одном случае, а нестрогая дизъюнкция только в одном случае ложна. Если вы понимаете условие истинности операции, заучивать четыре отдельных утверждения для каждой из них не нужно.

## Разберём пример с числом 4 по шагам

Нужно определить истинность высказывания: «Число 4 чётное и больше 10».

1. Разделите предложение по связке «и»: «4 чётное» и «4 больше 10».
2. Оцените каждую часть: первая истинна, вторая ложна.
3. Определите операцию: «и» означает конъюнкцию `p ∧ q`.
4. Примените правило: конъюнкция истины и лжи даёт ложь, поскольку одно из двух условий не выполнено.

Полный ответ: **высказывание ложно, потому что 4 не больше 10, а для истинности конъюнкции должны быть истинны обе части.** Записывайте объяснение вместе с ответом: так будет видно, какая часть сделала конъюнкцию ложной.

Теперь используем те же части с другими операциями:

| Высказывание | Значение | Причина |
| --- | --- | --- |
| 4 чётное или больше 10 | Истина | Первая часть истинна, и этого достаточно для нестрогой дизъюнкции |
| 4 не больше 10 | Истина | Это отрицание ложного высказывания «4 больше 10» |
| 4 чётное и не больше 10 | Истина | Обе части истинны |

Если вы написали «Конъюнкция истинна, потому что 4 чётное», значит, проверили только одну часть. Вернитесь ко второй и проверьте, выполнены ли оба условия одновременно. Этот приём полезен и тогда, когда меняются числа или порядок высказываний.

## Почему дизъюнкция истинна, когда истинны обе части?

В этом уроке мы используем **нестрогую дизъюнкцию**. Например, высказывание «Число 12 чётное или делится на 3» истинно. Обе части истинны, и их одновременная истинность не делает дизъюнкцию ложной.

В повседневной речи «или» может означать выбор только одного варианта, например в предложении выбрать только один напиток. Поэтому нельзя автоматически переносить разговорный смысл на символ `∨`. Если в задаче требуется «только одно из двух высказываний, но не оба», речь идёт о строгой дизъюнкции, или исключающем «или»: она истинна, когда истинно ровно одно высказывание, и ложна, когда оба истинны или оба ложны. Разницу между значениями «или» объясняет [урок OpenStax о составных высказываниях](https://openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/2-2-compound-statements).

## Следите за тем, к чему относится отрицание

Отрицание высказывания «Число 4 больше 10» — «Число 4 не больше 10». Для действительных чисел отрицание `x > 10` записывается как `x ≤ 10`: случай равенства тоже нужно учесть.

При отрицании составного высказывания нужно учитывать скобки. Возьмём значения из первого примера: `p` истинно, а `q` ложно.

- `¬(p ∧ q)` истинно: сначала вычисляем конъюнкцию и получаем ложь, затем отрицаем результат.
- `(¬p) ∧ q` ложно: отрицаем только `p` и получаем ложь; `q` тоже ложно, поэтому конъюнкция ложна.

В выражении `¬(p ∧ q)` отрицание относится ко всему, что находится в скобках, поэтому сначала вычисляем конъюнкцию. В выражении `(¬p) ∧ q` отрицание относится только к `p`. Положение знака отрицания — часть условия задачи, и оно может изменить ответ, как в этом примере.

## Решите задания, прежде чем смотреть ответы

Для каждого задания запишите значение истинности и короткое объяснение. Особенно внимательно сравните первые два: простые высказывания в них одинаковые, меняется только связка.

1. «Число 9 нечётное и меньше 5».
2. «Число 9 нечётное или меньше 5».
3. «Число 8 нечётное или больше 20».
4. «Число 15 не кратно 5».
5. Если `p` ложно, а `q` истинно, истинно ли выражение `p ∨ (¬q)`?
6. «Число 18 чётное или кратно 3». Определите истинность высказывания и объясните, как на ответ влияет истинность обеих частей.

### Ответы с объяснениями

1. **Ложь.** Число 9 действительно нечётное, но оно не меньше 5. Конъюнкция истины и лжи даёт ложь.
2. **Истина.** Значения истинности частей не изменились, но для нестрогой дизъюнкции достаточно истинного высказывания «9 нечётное».
3. **Ложь.** Число 8 чётное и не больше 20. Это единственный случай, когда нестрогая дизъюнкция ложна: обе части ложны.
4. **Ложь.** Число 15 кратно 5, поскольку `15 = 3 × 5`. Высказывание «15 кратно 5» истинно, поэтому его отрицание ложно.
5. **Ложь.** Поскольку `q` истинно, `¬q` ложно. Получается дизъюнкция двух ложных высказываний.
6. **Истина.** Число 18 чётное и кратно 3. Когда обе части истинны, нестрогая дизъюнкция тоже истинна: она не требует, чтобы истинной была только одна часть.

## Превратите свою ошибку в карточку

Выберите карточку, которая поможет разобраться с причиной ошибки. Если вы перепутали связки, оставьте значения прежними и поменяйте операцию в вопросе. Если ошиблись в отрицании, ясно обозначьте на лицевой стороне карточки, к чему оно относится.

| Лицевая сторона | Обратная сторона |
| --- | --- |
| `p` истинно, а `q` ложно. Чему равно `p ∧ q`? Почему? | Ложь: для истинности конъюнкции должны быть истинны оба высказывания |
| `p` истинно, а `q` ложно. Чему равно `p ∨ q`? | Истина: хотя бы одно высказывание истинно |
| Как записать отрицание `x > 10` для действительных чисел? | `x ≤ 10`: отрицание включает равенство |
| `p` ложно, а `q` истинно. Вычислите `p ∨ (¬q)` | Ложь: отрицание `q` ложно, а дизъюнкция лжи и лжи даёт ложь |

Ответьте, прежде чем перевернуть карточку, а затем решите на бумаге пример с другими числами. Можно использовать бумажные карточки или карточки с лицевой и обратной стороной в приложении; первые шаги описаны в [руководстве по началу работы](/ru/docs/getting-started/). Больше о таком подходе — в статьях [«Как использовать карточки для изучения математики»](/ru/blog/how-to-use-flashcards-for-math/) и [«Как делать более понятные карточки»](/ru/blog/how-to-make-better-flashcards/).

---
*[Открыть оформленную HTML\-версию этой страницы](<https://flashcards-open-source-app.com/ru/blog/truth-values-conjunction-disjunction/>)*

*AI-агенты могут создать аккаунт пользователя в этом сервисе, начиная с `GET https://api.flashcards-open-source-app.com/v1/`. После настройки они также могут подключиться по MCP по адресу `https://mcp.flashcards-open-source-app.com/mcp`.*

*Совет: добавьте `.md` к любому URL на https://flashcards-open-source-app.com, чтобы получить чистую Markdown-версию страницы.*